正態(tài)分布
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正態(tài)分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一個在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計學(xué)的許多方面有著重大的影響力。若隨機(jī)變量X服從一個數(shù)學(xué)期望為μ、標(biāo)準(zhǔn)方差為σ2的高斯分布，記為：則其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了分布的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是μ = 0,σ = 1的正態(tài)分布。
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正態(tài)分布
正態(tài)分布的由來
normal distribution
一種概率分布。正態(tài)分布是具有兩個參數(shù)μ和σ2的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，第一參數(shù)μ是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，第二個參數(shù)σ2是此隨機(jī)變量的方差，所以正態(tài)分布記作N(μ，σ2 )。 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率規(guī)律為取與μ鄰近的值的概率大 ，而取離μ越遠(yuǎn)的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正態(tài)分布的密度函數(shù)的特點是：關(guān)于μ對稱，在μ處達(dá)到最大值，在正（負(fù)）無窮遠(yuǎn)處取值為0，在μ±σ處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低 ，圖像是一條位于x軸上方的鐘形曲線。當(dāng)μ＝0，σ2 ＝1時，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。μ維隨機(jī)向量具有類似的概率規(guī)律時，稱此隨機(jī)向量遵從多維正態(tài)分布。多元正態(tài)分布有很好的性質(zhì)，例如，多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布，它經(jīng)任何線性變換得到的隨機(jī)向量仍為多維正態(tài)分布，特別它的線性組合為一元正態(tài)分布。
正態(tài)分布最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。
生產(chǎn)與科學(xué)實驗中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述。例如，在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的強(qiáng)力、抗壓強(qiáng)度、口徑、長度等指標(biāo)；同一種生物體的身長、體重等指標(biāo)；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點沿某一方向的偏差；某個地區(qū)的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個量是由許多微小的獨立隨機(jī)因素影響的結(jié)果，那么就可以認(rèn)為這個量具有正態(tài)分布（見中心極限定理）。從理論上看，正態(tài)分布具有很多良好的性質(zhì) ，許多概率分布可以用它來近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導(dǎo)出的，例如對數(shù)正態(tài)分布、t分布、F分布等。
正態(tài)分布應(yīng)用最廣泛的連續(xù)概率分布，其特征是“鐘”形曲線。
附：這種分布的概率密度函數(shù)為：（如右圖）
正態(tài)分布
1.正態(tài)分布：若已知的密度函數(shù)（頻率曲線）為正態(tài)函數(shù)（曲線）則稱已知曲線服從正態(tài)分布，記號 ～ 。其中μ、σ2 是兩個不確定常數(shù)，是正態(tài)分布的參數(shù)，不同的μ、不同的σ2對應(yīng)不同的正態(tài)分布。
正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫軸間的面積總等于1。
2．正態(tài)分布的特征：服從正態(tài)分布的變量的頻數(shù)分布由μ、σ完全決定。
(1)μ是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢位置。正態(tài)分布以X=μ為對稱軸，左右完全對稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于μ。
(2)σ描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度，σ越大，數(shù)據(jù)分布越分散，σ越小，數(shù)據(jù)分布越集中。 也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，σ越大，曲線越扁平，反之，σ越小，曲線越瘦高?！ ?/p>
正態(tài)曲線下面積分布
1．實際工作中，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分比，或變量值落在該區(qū)間的概率（概率分布）。不同 范圍內(nèi)正態(tài)曲線下的面積可用公式計算。
2.幾個重要的面積比例 軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于1。正態(tài)曲線下，橫軸區(qū)間（μ-σ，μ+σ）內(nèi)的面積為68.268949%，橫軸區(qū)間（μ-1.96σ，μ+1.96σ）內(nèi)的面積為95.449974%，橫軸區(qū)間（μ-2.58σ，μ+2.58σ）內(nèi)的面積為99.730020%?！ ?/p>
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線
1．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的μ和σ2為0和1，通常用ξ（或Z）表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，記為 Z～N（0，1）。
2．標(biāo)準(zhǔn)化變換：此變換有特性：若原分布服從正態(tài)分布 ，則Z=(x-μ)/σ ～ N(0,1) 就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表就可以直接計算出原正態(tài)分布的概率值。故該變換被稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換。
3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下從-∞到X(當(dāng)前值）范圍內(nèi)的面積比例 。
一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化
由于一般的正態(tài)總體 其圖像不一定關(guān)于y軸對稱，對于任一正態(tài)總體 ，其取值小于x的概率 。只要會用它求正態(tài)總體 在某個特定區(qū)間的概率即可。 “小概率事件”和假設(shè)檢驗的基本思想“小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于5%的事件，認(rèn)為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點。關(guān)于這一點我們要有以下兩個方面的認(rèn)識：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，因為試驗次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時，我們也有5%的犯錯誤的可能?！ ?/p>
一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別與聯(lián)系
正態(tài)分布也叫常態(tài)分布，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種，自然界、人類社會、心理和教育中大量現(xiàn)象均按正態(tài)形式分布，例如能力的高低，學(xué)生成績的好壞等都屬于正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種，具有正態(tài)分布的所有特征。所有正態(tài)分布都可以通過Z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。
兩者特點比較：
(1)正態(tài)分布的形式是對稱的，對稱軸是經(jīng)過平均數(shù)點的垂線。
(2)中央點最高，然后逐漸向兩側(cè)下降，曲線的形式是先向內(nèi)彎，再向外彎。
(3)正態(tài)曲線下的面積為1。正態(tài)分布是一族分布，它隨隨機(jī)變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小與單位不同而有不同的分布形態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都是固定的，平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。
（4）正態(tài)分布曲線下標(biāo)準(zhǔn)差與概率面積有固定數(shù)量關(guān)系。所有正態(tài)分布都可以通過Z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。
主要特征
1、集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。
2、對稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。
3、均勻變動性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。
4、正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，可記作N（μ，σ）：均數(shù)μ決定正態(tài)曲線的中心位置；標(biāo)準(zhǔn)差σ決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。σ越小，曲線越陡峭；σ越大，曲線越扁平。
5、u變換：為了便于描述和應(yīng)用，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換?！ ?/p>
發(fā)展
正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概念是由德國的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moivre于1733年受次提出的，但由于德國數(shù)學(xué)家Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布，高斯這項工作對后世的影響極大，他使正態(tài)分布同時有了“高斯分布”的名稱，后世之所以多將最小二乘法的發(fā)明權(quán)歸之于他，也是出于這一工作。高斯是一個偉大的數(shù)學(xué)家，重要的貢獻(xiàn)不勝枚舉。但現(xiàn)今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這傳達(dá)了一種想法：在高斯的一切科學(xué)貢獻(xiàn)中，其對人類文明影響最大者，就是這一項。在高斯剛作出這個發(fā)現(xiàn)之初，也許人們還只能從其理論的簡化上來評價其優(yōu)越性，其全部影響還不能充分看出來。這要到20世紀(jì)正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展起來以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并馬上將其與他發(fā)現(xiàn)的中心極限定理聯(lián)系起來，為此，他在即將發(fā)表的一篇文章(發(fā)表于1810年）上加上了一點補(bǔ)充，指出如若誤差可看成許多量的疊加，根據(jù)他的中心極限定理，誤差理應(yīng)有高斯分布。這是歷史上第一次提到所謂“元誤差學(xué)說”——誤差是由大量的、由種種原因產(chǎn)生的元誤差疊加而成。后來到1837年，海根(G.Hagen)在一篇論文中正式提出了這個學(xué)說。
其實，他提出的形式有相當(dāng)大的局限性：海根把誤差設(shè)想成個數(shù)很多的、獨立同分布的“元誤差” 之和，每只取兩值，其概率都是1/2，由此出發(fā)，按狄莫佛的中心極限定理，立即就得出誤差(近似地)服從正態(tài)分布。拉普拉斯所指出的這一點有重大的意義，在于他給誤差的正態(tài)理論一個更自然合理、更令人信服的解釋。因為，高斯的說法有一點循環(huán)論證的氣味：由于算術(shù)平均是優(yōu)良的，推出誤差必須服從正態(tài)分布；反過來，由后一結(jié)論又推出算術(shù)平均及最小二乘估計的優(yōu)良性，故必須認(rèn)定這二者之一(算術(shù)平均的優(yōu)良性，誤差的正態(tài)性) 為出發(fā)點。但算術(shù)平均到底并沒有自行成立的理由，以它作為理論中一個預(yù)設(shè)的出發(fā)點，終覺有其不足之處。拉普拉斯的理論把這斷裂的一環(huán)連接起來，使之成為一個和諧的整體，實有著極重大的意義?！ ?/p>
應(yīng)用
綜述
1. 估計頻數(shù)分布 一個服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差就可根據(jù)公式即可估計任意取值范圍內(nèi)頻數(shù)比例。
2. 制定參考值范圍
（1）正態(tài)分布法 適用于服從正態(tài)（或近似正態(tài)）分布指標(biāo)以及可以通過轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)。
（2）百分位數(shù)法 常用于偏態(tài)分布的指標(biāo)。表3-1中兩種方法的單雙側(cè)界值都應(yīng)熟練掌握。
3. 質(zhì)量控制：為了控制實驗中的測量（或?qū)嶒灒┱`差，常以 作為上、下警戒值，以 作為上、下控制值。這樣做的依據(jù)是：正常情況下測量（或?qū)嶒灒┱`差服從正態(tài)分布。
4. 正態(tài)分布是許多統(tǒng)計方法的理論基礎(chǔ)。 檢驗、方差分析、相關(guān)和回歸分析等多種統(tǒng)計方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計方法雖然不要求分析指標(biāo)服從正態(tài)分布，但相應(yīng)的統(tǒng)計量在大樣本時近似正態(tài)分布，因而大樣本時這些統(tǒng)計推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎(chǔ)的。
估計正態(tài)分布資料的頻數(shù)分布
例1.10 某地1993年抽樣調(diào)查了100名18歲男大學(xué)生身高（cm），其均數(shù)=172.70cm，標(biāo)準(zhǔn)差s=4.01cm，①估計該地18歲男大學(xué)生身高在168cm以下者占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的百分?jǐn)?shù)；②分別求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范圍內(nèi)18歲男大學(xué)生占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的實際百分?jǐn)?shù)，并與理論百分?jǐn)?shù)比較。
本例，μ、σ未知但樣本含量n較大，按式（3.1）用樣本均數(shù)X和標(biāo)準(zhǔn)差S分別代替μ和σ，求得u值，u=(168-172.70)/4.01=-1.17。查附表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積，在表的左側(cè)找到-1.1，表的上方找到0.07，兩者相交處為0.1210=12.10%。該地18歲男大學(xué)生身高在168cm以下者，約占總數(shù)12.10%。其它計算結(jié)果見表3。
表3 100名18歲男大學(xué)生身高的實際分布與理論分布
| 分布 x+-s | 身高范圍（cm） | 實際分布 人數(shù) | 實際分布 百分?jǐn)?shù)（%） | 理論分布（%） |
| X+-1s | 168.69～176.71 | 67 | 67.00 | 68.27 |
| X +-1.96s | 164.84～180.56 | 95 | 95.00 | 95.00 |
| X+-2.58s | 162.35～183.05 | 99 | 99.00 | 99.00 |
制定醫(yī)學(xué)參考值范圍
某些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實驗中的隨機(jī)誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標(biāo)（變量）雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新變量可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)，被稱為服從對數(shù)正態(tài)分布。
醫(yī)學(xué)參考值范圍亦稱醫(yī)學(xué)正常值范圍。它是指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指標(biāo)的波動范圍。制定正常值范圍時，首先要確定一批樣本含量足夠大的“正常人”，所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群；其次需根據(jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰?，?0%，90%，95%和99%，常用95%；根據(jù)指標(biāo)的實際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值，如白細(xì)胞計數(shù)過高過低皆屬不正常須確定雙側(cè)界值，又如肝功中轉(zhuǎn)氨酶過高屬不正常須確定單側(cè)上界，肺活量過低屬不正常須確定單側(cè)下界。另外，還要根據(jù)資料的分布特點，選用恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒?。常用方法有?/p>
（1）正態(tài)分布法：適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料。
雙側(cè)界值：X+-u(u)^S單側(cè)上界：X+u(u)^S，或單側(cè)下界：X-u(u)^S
（2）對數(shù)正態(tài)分布法：適用于對數(shù)正態(tài)分布資料。
雙側(cè)界值：lg-1[X(lgx)+-u(u)S(lgx)]；單側(cè)上界：lg-1[X(lgx)+u(u)S(lgx)]，或單側(cè)下界：lg-1[X(lgx)-u(u)S(lgx)]。
常用u值可根據(jù)要求由表4查出。
（3）百分位數(shù)法：常用于偏態(tài)分布資料以及資料中一端或兩端無確切數(shù)值的資料。
雙側(cè)界值：P2.5和P97.5；單側(cè)上界：P95，或單側(cè)下界：P5。
表4常用u值表
| 參考值范圍(%) | 單側(cè) | 雙側(cè) |
| 80 | 0.842 | 1.282 |
| 90 | 1.282 | 1.645 |
| 95 | 1.645 | 1.960 |
| 99 | 2.326 | 2.576 |
統(tǒng)計方法的理論基礎(chǔ)
如t分布、F分布、分布都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，u檢驗也是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，t分布、二項分布、Poisson分布的極限為正態(tài)分布，在一定條件下，可以按正態(tài)分布原理來處理?！ ?/p>
概率論中最重要的分布
正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實驗中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述。例如，在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的強(qiáng)力、抗壓強(qiáng)度、口徑、長度等指標(biāo)；同一種生物體的身長、體重等指標(biāo)；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點沿某一方向的偏差；某個地區(qū)的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個量是由許多微小的獨立隨機(jī)因素影響的結(jié)果，那么就可以認(rèn)為這個量具有正態(tài)分布（見中心極限定理）。從理論上看，正態(tài)分布具有很多良好的性質(zhì) ，許多概率分布可以用它來近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導(dǎo)出的，例如對數(shù)正態(tài)分布、t分布、F分布等?！ ?/p>
主要內(nèi)涵
在聯(lián)系自然、社會和思維的實踐背景下，我們以正態(tài)分布的本質(zhì)為基礎(chǔ)，以正態(tài)分布曲線及面積分布圖為表征（以后談及正態(tài)分布及正態(tài)分布論就要浮現(xiàn)此圖），進(jìn)行抽象與提升，抓住其中的主要哲學(xué)內(nèi)涵，歸納正態(tài)分布論（正態(tài)哲學(xué)）的主要內(nèi)涵如下：
整體論
正態(tài)分布啟示我們，要用整體的觀點來看事物?！跋到y(tǒng)的整體觀念或總體觀念是系統(tǒng)概念的精髓?！?正態(tài)分布曲線及面積分布圖由基區(qū)、負(fù)區(qū)、正區(qū)三個區(qū)組成，各區(qū)比重不一樣。用整體來看事物才能看清楚事物的本來面貌，才能得出事物的根本特性。不能只見樹木不見森林，也不能以偏概全。此外整體大于部分之和，在分析各部分、各層次的基礎(chǔ)上，還要從整體看事物，這是因為整體有不同于各部分的特點。用整體觀來看世界，就是要立足在基區(qū)，放眼負(fù)區(qū)和正區(qū)。要看到主要方面，還要看到次要方面，既要看到積極的方面還要看到事物消極的一面，看到事物前進(jìn)的一面還要看到落后的一面。片面看事物必然看到的是偏態(tài)或者是變態(tài)的事物，不是真實的事物本身?！ ?/p>
重點論
正態(tài)分布曲線及面積分布圖非常清晰的展示了重點，那就是基區(qū)占68.27%，是主體，要重點抓，此外95%，99%則展示了正態(tài)的全面性。認(rèn)識世界和改造世界一定要住住重點，因為重點就是事物的主要矛盾，它對事物的發(fā)展起主要的、支配性的作用。抓住了重點才能一舉其綱，萬目皆張。事物和現(xiàn)象紛繁復(fù)雜，在千頭萬緒中不抓住主要矛盾，就會陷入無限瑣碎之中。由于我們時間和精力的相對有限性，出于效率的追求，我們更應(yīng)該抓住重點。在正態(tài)分布中，基區(qū)占了主體和重點。如果我們結(jié)合20/80法則，我們更可以大膽的把正區(qū)也可以看做是重點?！ ?/p>
發(fā)展論
聯(lián)系和發(fā)展是事物發(fā)展變化的基本規(guī)律。任何事物都有其產(chǎn)生、發(fā)展和滅亡的歷史，如果我們把正態(tài)分布看做是任何一個系統(tǒng)或者事物的發(fā)展過程的話，我們明顯的看到這個過程經(jīng)歷著從負(fù)區(qū)到基區(qū)再到正區(qū)的過程。無論是自然、社會還是人類的思維都明顯的遵循這這樣一個過程。準(zhǔn)確的把握事物或者事件所處的歷史過程和階段極大的有助于掌握我們對事物、事件的特征和性質(zhì)，是我們分析問題，采取對策和解決問題的重要基礎(chǔ)和依據(jù)。發(fā)展的階段不同，性質(zhì)和特征也不同，分析和解決問題的辦法要與此相適應(yīng)，這就是具體問題具體分析，也是解放思想、實事求是、與時俱樂進(jìn)的精髓。正態(tài)發(fā)展的特點還啟示我們，事物發(fā)展大都是漸進(jìn)的和累積的，走漸進(jìn)發(fā)展的道路是事物發(fā)展的常態(tài)。例如，遺傳是常態(tài)，變異是非常態(tài)。
總之，正態(tài)分布論是科學(xué)的世界觀，也是科學(xué)的方法論，是我們認(rèn)識和改造世界的最重要和最根本的工具之一，對我們的理論和實踐有重要的指導(dǎo)意義。以正態(tài)哲學(xué)認(rèn)識世界，能更好的認(rèn)識和把握世界的本質(zhì)和規(guī)律，以正態(tài)哲學(xué)來改造世界，能更好的在尊重和利用客觀規(guī)律，更有效的改造世界?！ ?/p>
研究過程
正態(tài)分布的概念及特征：
一、正態(tài)分布的概念
由一般分布的頻數(shù)表資料所繪制的直方圖，圖（1）可以看出，高峰位于中部，左右兩側(cè)大致對稱。我們
設(shè)想，如果觀察例數(shù)逐漸增多，組段不斷分細(xì)，直方圖頂端的連線就會逐漸形成一條高峰位于中央（均數(shù)所在處），兩側(cè)逐漸降低且左右對稱，不與橫軸相交的光滑曲線圖（3）。這條曲線稱為頻數(shù)曲線或頻率曲線，近似于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布（normal distribution）。由于頻率的總和為100%或1，故該曲線下橫軸上的面積為100%或1。
為了應(yīng)用方便，常對正態(tài)分布變量X作變量變換。
該變換使原來的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (standard normal distribution)，亦稱u分布。u被稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差（standard normal deviate）。
二、正態(tài)分布的特征：
1．正態(tài)曲線（normal curve）在橫軸上方均數(shù)處最高。
2．正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱。
3．正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。μ是位置參數(shù)，當(dāng)σ固定不變時，μ越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，μ越小，則曲線沿橫軸越向左移動。σ是形狀參數(shù)，當(dāng)μ固定不變時，σ越大，曲線越平闊；σ越小，曲線越尖峭。通常用N~（μ，σ2）表示均數(shù)為μ，方差為σ2的正態(tài)分布。用N（0，1）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。
4．正態(tài)曲線下面積的分布有一定規(guī)律。
實際工作中，常需要了解正態(tài)曲線下橫軸上某一區(qū)間的面積占總面積的百分?jǐn)?shù)，以便估計該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分?jǐn)?shù)（頻數(shù)分布）或觀察值落在該區(qū)間的概率。正態(tài)曲線下一定區(qū)間的面積可以通過附表1求得。對于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料，已知均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，就可對其頻數(shù)分布作出概約估計。
查附表1應(yīng)注意：①表中曲線下面積為-∞到u的左側(cè)累計面積；②當(dāng)已知μ、σ和X時先按式u=(X-μ)/σ求得u值，再查表，當(dāng)μ、σ未知且樣本含量n足夠大時，可用樣本均數(shù)X1和標(biāo)準(zhǔn)差S分別代替μ和σ，按u=(X-X1)/S式求得u值，再查表；③曲線下對稱于0的區(qū)間面積相等，如區(qū)間（-∞，-1.96）與區(qū)間（1.96，∞）的面積相等，④曲線下橫軸
上的總面積為100%或1。
圖2 正態(tài)曲線與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的面積分布
第二節(jié) 正態(tài)分布的應(yīng)用某些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量、膽固醇等，以及實驗中的隨機(jī)誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些資料雖為偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)變換后可成為正態(tài)或近似正態(tài)分布，故可按正態(tài)分布規(guī)律處理。
人格
人格(personality)或稱個性，是用來描述個體心理差異的，指個體總的精神面貌，是人體心理特征的總和。由于人格差異，個體在各種不同的環(huán)境中表現(xiàn)出各自不同的穩(wěn)定而持久的行為模式?；蛘哒f，人格給個體的行為打上了獨特的烙印。人格包含性格、氣質(zhì)、能力、興趣、愛好等成分。其中性格為表現(xiàn)在人的態(tài)度和行為方面的特征，主要由于后天學(xué)習(xí)和生活鍛煉而形成的，是人格重要組成部分。氣質(zhì)俗稱“脾氣”，主要指由于先天遺傳，加上后天影響，形成一般較小的特征，如情緒體驗的快慢、強(qiáng)弱以及動作反應(yīng)的敏感遲鈍，就屬于氣質(zhì)范疇。它不能決定人格特征的內(nèi)容，只能使人的人格帶上一定的色彩。
了解個體的人格特征，不但可以預(yù)測個體在特殊情況下的行為反應(yīng)，而且，不同的人格可能表現(xiàn)出不同的患病傾向。例如，近代研究表明，A型行為與冠心病明顯相關(guān)，被認(rèn)為是易患冠心病的危險因素。在精神病學(xué)臨床上，病人的人格不僅決定了他患病后的行為，而且為某種精神疾病的發(fā)生準(zhǔn)備了基礎(chǔ)。例如，強(qiáng)迫癥病人常有某種焦慮、刻板、固執(zhí)、自信不足的精神衰弱人格，癔癥病人常有情感不穩(wěn)、易受暗示、自我中心的表演性格。有時，人格所表現(xiàn)的獨特行為方式可能和精神疾病混淆起來，導(dǎo)致論斷錯誤。
人格的差異有不同的程度。有些人的人格較為健全，在面對應(yīng)激性事件時，依然能夠很好應(yīng)對。有些人的人格較為脆弱，在應(yīng)激性事件作用下，易于發(fā)生神經(jīng)癥性障礙。對于細(xì)小的事情總是憂慮的人，在困難的情境中更容易產(chǎn)生焦慮障礙，而相同的情境對其他人卻沒有這種影響。如果人格更為脆弱，那么，異常行為可能在沒有應(yīng)激性事件的情況下出現(xiàn)。有時，這種異常行為表現(xiàn)非常明顯，以致難以判斷這些行為是由于人格還是由于精神疾病所致。（注A型行為：美國心臟病醫(yī)生梅伊＆弗瑞德曼在診室里接待了一位來家具的修家具商。家具商說他一定是接待了許多焦慮不安的人，醫(yī)生問他為什么？他說辦公室里沙發(fā)和椅子的手柄磨損得特別快，這表明醫(yī)生的許多病人坐下以后都必定是焦慮不安地握住扶手。根據(jù)這一靈感，弗瑞德曼和他的同事瑞.羅森曼開始了他們的研究工作，最后形成了A型行為類型的理論。
在現(xiàn)實生活中，有這么一種人，做一件事總想一下子干完，不干完不踏實。他總覺得時間緊張，不夠用；走起路來風(fēng)風(fēng)火火，上樓梯也是三步并兩步；坐公共汽車，遇到交通擁擠車開得慢，他坐立不安，恨不得把司機(jī)換下來，自己開；若要排長隊買東西，他寧可不買;做工作總要盡善盡美，比別人好，讓領(lǐng)導(dǎo)說不出什么；也不喜歡別人插手的工作，總覺得不如自己干得好；他有很強(qiáng)的競爭欲，也有很強(qiáng)的嫉妒心，人際關(guān)系也比較緊張。這種行為方式被稱為：“A 型行為”。與之相對的行為方式則被稱為 “B型行為”。
弗瑞德曼和羅森曼通過近十年的研究，發(fā)現(xiàn)A型行為被試者冠心病的發(fā)病率是B型被試者發(fā)病率的2倍以上。
A型行為類型并不是一種單一的心理素質(zhì)和行為表現(xiàn)方式，而是包含了以人格為基礎(chǔ) 的行為，性格和情感元素的一個復(fù)合因素群或行為群。是不同的人格由相應(yīng)的競爭和挑戰(zhàn)性環(huán)境塑造的一整套的外顯行為，是介于典型的A型行為到典型的非A型行為之間的行為連續(xù)體。目前把行為類型分為五型：A、mA、M、mB、B。A型是A型行為人的極端型，有強(qiáng)烈的進(jìn)取心和競爭欲。有時間緊迫感，人際關(guān)系不協(xié)調(diào)，有敵意傾向。mA是一種不那么明朗和極端的A型人。B是B型行為人中的極端型，是與A型行為相反的一種類型，缺乏競爭性，喜歡不緊張的工作，喜歡過松散的生活，無時間緊迫感，有耐心，無主動的敵意。mB不像B型表現(xiàn)得那么明朗和極端。M是介于A型和B型之間的一種混合型。）
人格和疾病在概念上的區(qū)分，在臨床上具有重要價值，但這種區(qū)分并不都容易。核心在于能否確定行為異常的病程。如果一個人以前行為正常，以后產(chǎn)生了異常行為，他被認(rèn)為有病。如果他的行為以往和現(xiàn)在一樣反常，他被認(rèn)為可能有人格障礙(personality disorder)。這種區(qū)分在行為改變急速顯著時容易做到，如急性躁狂癥。但在行為改變緩慢不顯著時，這種區(qū)分就有困難，例如，某些精神分裂癥。
由于人們的人格特征存在許多差異，于是就產(chǎn)生了人格類型的概念。C.G.Jung把人格分為“內(nèi)傾”和“外傾”兩類。孤僻好靜，自負(fù)清高、不茍言笑、不善交友、不愛勞動、不肯合群、不喜歡參加集體活動 、對人冷淡、膽小怕羞、生性多疑、多思多慮、怕負(fù)責(zé)任、有時想入非非、脫離現(xiàn)實，是“內(nèi)傾”人格的典型特征。而“外傾”的人格特征則與此相反。Kretschmer曾將病人的人格、體型與所患的精神病聯(lián)系起來研究，提出了所謂“分裂癥型”和“情感性循環(huán)型”兩種。實際上“分裂癥型”類似Jung的“內(nèi)傾型”，“情感性循環(huán)型”類似“外傾型”。他認(rèn)為內(nèi)傾人格患病多為精神分裂癥，而外傾人格多為躁狂抑郁癥。
有些人的人格是明顯異常的，例如，反復(fù)傷害人而從無悔恨之心的狂暴冷酷的人。但人格障礙的概念卻不易說明，因為對人格的正?；虍惓２o明確的劃分標(biāo)準(zhǔn)。有兩種標(biāo)準(zhǔn)對確定這個問題有幫助。其一是統(tǒng)計學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，假定人格的每一種心理特征也像身高、體重、智能一樣在人群中呈近似正態(tài)分布。那么，變態(tài)人格(abnormal personality)是正常人格的量的變異，其界線由統(tǒng)計學(xué)評分結(jié)果人為地規(guī)定。如果一個人的某些心理特征發(fā)展到變動的極端，就可以認(rèn)為他有人格障礙。
正態(tài)分布是許多統(tǒng)計方法的理論基礎(chǔ)。 檢驗、方差分析、相關(guān)和回歸分析等多種統(tǒng)計方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計方法雖然不要求分析指標(biāo)服從正態(tài)分布，但相應(yīng)的統(tǒng)計量在大樣本時近似正態(tài)分布，因而大樣本時這些統(tǒng)計推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎(chǔ)的。
應(yīng)用正態(tài)分布的具體研究實例智力研究
理查德.赫恩斯坦 [（Richard J. Herrnstein 1930.05.20－1994.09.13），美國比較心理學(xué)家]和默瑞（Charles Murray）合著《正態(tài)曲線》一書而聞名，在該書中他們指出人們的智力呈正態(tài)分布。智力主要是遺傳的并因種族的不同而不同，猶太人、東亞人的智商最高，其次為白人，表現(xiàn)最差的是黑人、西班牙裔人。他們檢討了數(shù)十年來心理計量學(xué)與政策學(xué)的研究成果，發(fā)現(xiàn)美國社會輕忽了智商的影響愈變愈大的趨勢。他們力圖證明，美國現(xiàn)行的偏向于以非洲裔和南美裔為主的低收入階層的社會政策，如職業(yè)培訓(xùn)、大學(xué)教育等，完全是在浪費資源。他們利用應(yīng)募入伍者的測試結(jié)果證明，黑人青年的智力低于白人和黃種人；而且，這些人的智力已經(jīng)定型，對他們進(jìn)行培訓(xùn)收效甚微。因此，政府應(yīng)該放棄對這部分人的教育，把錢用于包括所有種族在內(nèi)的啟蒙教育，因為孩子的智力尚未定型，開發(fā)潛力大。由于此書涉及黑人的智力問題，一經(jīng)出版便受到來自四面八方的圍攻?！ ?/p>
能力研究
弗朗西斯.高爾頓 弗朗西斯.高爾頓 [Francis Galton 1822.02.16－1911.01.17]，英國探險家、優(yōu)生學(xué)家、心理學(xué)家，差異心理學(xué)之父，也是心理測量學(xué)上生理計量法的創(chuàng)始人。 高而頓對心理學(xué)的貢獻(xiàn)，大概可以歸納未差異心理學(xué)、心理測量的量化和實驗心理學(xué)三方面：
1.他率先研究個體差異。他在倫敦南肯辛頓博物館他的人類測量實驗室內(nèi)，利用儀器作人類學(xué)測量及心理測量。測量項目有身高、體重、肺活量、拉力和握力、扣擊的速率、聽力、視力、色覺等，以研究能力的個體差異。又用問答法研究意象的個體差異。要求被試先確定一件事，如早餐的情境，然后被試回憶心目中出現(xiàn)餐桌上實物的意象，即食物的鮮明度、確定度等。對答案整理后，他發(fā)現(xiàn)被試的意象有很大的個體差異：有的人以肌肉運動覺意象為主，有的人以聽覺意象為主，有的人以視覺意象為主。 他強(qiáng)調(diào)遺傳是形成個體差異的原因。他通過譜系調(diào)查，論證遺傳因素與個體差異的關(guān)系。
他是第一個明確提出普通能力和特殊能力主張的人。他在調(diào)查 1768－1868 年這 1OO 年間英國的首相、將軍、文學(xué)家和科學(xué)家共 977 名獲得智力成熟的人的家譜后發(fā)現(xiàn)，其中有 89 個父親、129 個兒子、114 個兄弟，共 332 名杰出人士。而在一般老百姓中 4000 人才產(chǎn)生一名杰出人士。因此斷言“普通能力”是遺傳的。在調(diào)查 30 家有藝術(shù)能力的家庭中，他發(fā)現(xiàn)這些家庭中的子女也有藝術(shù)能力的占 64%；而 15O 家無藝術(shù)能力的家庭，其子女中只有 21% 有藝術(shù)能力，因此斷言藝術(shù)能力 - “特殊能力”也是遺傳的。他發(fā)現(xiàn)，遺傳親屬關(guān)系程度的降低，杰出親屬的比例也顯著地下降。
他還用 80 對雙生子的資料，以雙生子比其他親兄弟、親姐妹在心理特點上更為相像的事例，證明人的心理完全是遺傳的。由此也使他第一個注意到同卵雙生和異卵雙生在估計遺傳和環(huán)境因素在人的變異方面的相對作用的方法論的重要性。高爾頓根據(jù)遺傳與個體差異的關(guān)系倡導(dǎo)善擇配偶，改良人種，并再 1883 年《人類才能及其發(fā)展的研究》一書中首創(chuàng)“優(yōu)生學(xué)”這一術(shù)語。
2.心理學(xué)研究之量化，始自高爾頓。他發(fā)明了許多感官和運動的測試，并以數(shù)量代表所測得的心理特質(zhì)之差異。他認(rèn)為人的所有特質(zhì)，不管是物質(zhì)的還是精神的，最終都可以定量敘述，這是實現(xiàn)人類科學(xué)的必要條件，故最先應(yīng)用統(tǒng)計法處理心理學(xué)研究資料，重視數(shù)據(jù)的平均數(shù)與高中差數(shù)。他收集了大量資料證明人的心理特質(zhì)在人口中的分布如同身高、體重那樣符合正態(tài)分布曲線。他在論及遺傳對個體差異的影響時，為相關(guān)系數(shù)的概念作了初步提示。如他研究了“居間親”和其成年子女的身高關(guān)系，發(fā)現(xiàn)居間親和其子女的身高有正相關(guān)，即父母的身材較高，其子女的身材也有較高的趨勢。反之，父母的身材較低，其子女也有較矮的趨勢。同時發(fā)現(xiàn)子女的身高常與其父母略有差別，而呈現(xiàn)“回中”趨勢，即離開其父母的身高數(shù)，而回到一般人身高的平均數(shù)。
3.1883 年，高爾頓出版了《人類才能及其發(fā)展的研究》，書中概括地表述了兩項在實驗心理學(xué)中極為重要的研究方法和成果。第一個是關(guān)于自由聯(lián)想的實驗：他事先在 75 張紙條上各寫一個單詞，每次只讓受試者看一張紙條，再用一個精密的計時器測出由此引出的兩個即興到來的聯(lián)想所需的時間，然后對這些聯(lián)想在受試者的經(jīng)驗中的可能起源加以分析，他發(fā)現(xiàn)最經(jīng)常的聯(lián)想往往來自遙遠(yuǎn)的童年。在這項實驗中，他還證實人類具有一種看到或聽到某一數(shù)字就能聯(lián)想到某一特定形狀的能力，他稱這種現(xiàn)象為“數(shù)目形”。第二個是關(guān)于心理意象的廣泛調(diào)查：他要求受試者先想一件確定的東西，然后盡量注意自己的“心視”畫面，并回答如明亮度，清晰度、色彩等一系列問題，并按其強(qiáng)度記分。
值得一提的是，在這些研究中，他首先在心理學(xué)中引進(jìn)了調(diào)查表和評分辦法。他對實驗心理學(xué)的貢獻(xiàn)還包括一系列他所發(fā)明的心理測驗儀器和測驗方法。有些儀器后來就以他的名字來命名，例如測量聽覺閾的高爾頓笛和測量視覺范圍的高爾頓棒，這些儀器直到 20 世紀(jì) 30 年代都是心理實驗室的標(biāo)準(zhǔn)儀器。他還用盛有不同物質(zhì)的瓶子來測驗嗅覺，這一方法被后人沿用至今。除此之外，他又設(shè)計了測量肌肉感覺、反應(yīng)力、觸覺的儀器和方法。
注：美國心理學(xué)家特爾曼（L. M. Terman）曾根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)的記載，用他自己設(shè)計的斯坦福 - 比納標(biāo)準(zhǔn)對幼年的高爾頓的智力進(jìn)行了估算，他認(rèn)為高爾頓 3-8 歲間的智力年齡幾乎等于實際年齡的 2 倍，其智商約為 200?！ ?/p>
考試成績及學(xué)生綜合素質(zhì)研究
教育統(tǒng)計學(xué) 統(tǒng)計規(guī)律表明，學(xué)生的智力水平，包括學(xué)習(xí)能力，實際動手能力等呈正態(tài)分布。因而正常的考試成績分布應(yīng)基本服從正態(tài)分布?？荚嚪治鲆罄L制出學(xué)生成績分布的直方圖，以“中間高、兩頭低”來衡量成績符合正態(tài)分布的程度。其評價標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為：考生成績分布情況直方圖，基本呈正態(tài)曲線狀，屬于好，如果略呈正（負(fù)）態(tài)狀，屬于中等，如果呈嚴(yán)重偏態(tài)或無規(guī)律，就是差的。 生產(chǎn)與科學(xué)實驗中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述。
從概率統(tǒng)計規(guī)律看，“正常的考試成績分布應(yīng)基本服從正態(tài)分布”是正確的。但是必須考慮人與物的本質(zhì)不同，以及教育的有所作為可以使“隨機(jī)”受到干預(yù)，用曲線或直方圖的形狀來評價考試成績就有失偏頗?，F(xiàn)在許多教育專家（如上海顧泠沅 、美國布魯姆等）已經(jīng)通過實踐論證，教育是可以大有作為的，可以做到大多數(shù)學(xué)生及格，而且多數(shù)學(xué)生可以得高分，考試成績曲線是偏正態(tài)分布的。但是長期受到“中間高、兩頭低”標(biāo)準(zhǔn)的影響，限制了教師的作為，抑制了多數(shù)學(xué)生能夠?qū)W好的信心。這是很大的誤會。 通常正態(tài)曲線有一條對稱軸。當(dāng)某個分?jǐn)?shù)（或分?jǐn)?shù)段）的考生人數(shù)最多時，對應(yīng)曲線的最高點，是曲線的頂點。該分?jǐn)?shù)值在橫軸上的對應(yīng)點與頂點連接的線段就是該正態(tài)曲線的對稱軸?？忌藬?shù)最多的值是峰值。我們注意到，成績曲線或直方圖實際上很少對稱的，稱之為峰線更合適。
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