二項(xiàng)分布
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二項(xiàng)分布（
Binomial Distribution），即重復(fù)n次的伯努里試驗(yàn)（Bernoulli Experiment）,如果
1.在每次試驗(yàn)中只有兩種可能的結(jié)果,而且是互相對立的;
2.每次實(shí)驗(yàn)是獨(dú)立的,與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān);
3.結(jié)果事件發(fā)生的概率在整個(gè)系列試驗(yàn)中保持不變,則這一系列試驗(yàn)稱為伯努力試驗(yàn).
在這試驗(yàn)中,事件發(fā)生的次數(shù)為一隨機(jī)事件,它服從二次分布.二項(xiàng)分布可以用于可靠性試驗(yàn).可靠性試驗(yàn)常常是投入n個(gè)相同的式樣進(jìn)行試驗(yàn)T小時(shí),而只允許k個(gè)式樣失敗,應(yīng)用二項(xiàng)分布可以得到通過試驗(yàn)的概率.
若某事件概率為p，現(xiàn)重復(fù)試驗(yàn)n次，該事件發(fā)生k次的概率為:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示組合數(shù)，即從n個(gè)事物中拿出k個(gè)的方法數(shù).
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醫(yī)學(xué)定義
在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，有一些隨機(jī)事件是只具有兩種互斥結(jié)果的離散型隨機(jī)事件，稱為二項(xiàng)分類變量（dichotomous variable），如對病人治療結(jié)果的有效與無效，某種化驗(yàn)結(jié)果的陽性與陰性，接觸某傳染源的感染與未感染等。二項(xiàng)分布（binomial distribution）就是對這類只具有兩種互斥結(jié)果的離散型隨機(jī)事件的規(guī)律性進(jìn)行描述的一種概率分布。
考慮只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，當(dāng)成功的概率（π）是恒定的，且各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，這種試驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為貝努里試驗(yàn)（Bernoulli trial）。如果進(jìn)行n次貝努里試驗(yàn)，取得成功次數(shù)為X（X=0,1,…,n）的概率可用下面的二項(xiàng)分布概率公式來描述：
P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)
式中的n為獨(dú)立的貝努里試驗(yàn)次數(shù)，π為成功的概率，（1-π）為失敗的概率，X為在n次貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)，表示在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)X的各種組合情況，在此稱為二項(xiàng)系數(shù)（binomial coefficient）。
所以的含義為：含量為n的樣本中，恰好有例陽性數(shù)的概率?！ ?/p>
二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件
1．各觀察單位只能具有相互對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬于兩分類資料。
2．已知發(fā)生某一結(jié)果（陽性）的概率為π，其對立結(jié)果的概率為1-π，實(shí)際工作中要求π是從大量觀察中獲得比較穩(wěn)定的數(shù)值。
3．n次試驗(yàn)在相同條件下進(jìn)行，且各個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果相互獨(dú)立，即每個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果不會(huì)影響到其他觀察單位的結(jié)果。如要求疾病無傳染性、無家族性等?！ ?/p>
二項(xiàng)分布的性質(zhì)
1．二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在二項(xiàng)分布資料中，當(dāng)π和n已知時(shí)，它的均數(shù)μ及其標(biāo)準(zhǔn)差σ可由式（7.3）和（7.4）算出。
μ=nπ（7.3）
σ=（7.4）
若均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差不用絕對數(shù)表示，而是用率表示時(shí)，即對式（7.3）和（7.4）分別除以n，得
μp=π（7.5）
σp=（7.6）
σp是樣本率的標(biāo)準(zhǔn)誤的理論值，當(dāng)π未知時(shí)，常用樣本率p作為π的估計(jì)值，式（7.6）變?yōu)椋?/p>
sp= （7.7）
2．二項(xiàng)分布的累計(jì)概率（cumulative probability）常用的有左側(cè)累計(jì)和右側(cè)累計(jì)兩種方法。從陽性率為π的總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，則
（1）最多有k例陽性的概率
(7.8)
（2）最少有k例陽性的概率
（7.9）
其中，X=0,1,2,…,k,…,n。
3．二項(xiàng)分布的圖形已知π和n，就能按公式計(jì)算X=0，1，…，n時(shí)的P（X）值。以X為橫坐標(biāo)，以P（X）為縱坐標(biāo)作圖，即可繪出二項(xiàng)分布的圖形，如圖7.1，給出了p=0.5和 p=0.3時(shí)不同n值對應(yīng)的二項(xiàng)分布圖。
二項(xiàng)分布的形狀取決于π和n的大小，高峰在m=np處。當(dāng)p接近0.5時(shí)，圖形是對稱的；p離0.5愈遠(yuǎn)，對稱性愈差，但隨著n的增大，分布趨于對稱。當(dāng)n→∞時(shí)，只要p不太靠近0或1，特別是當(dāng)nP和n(1－P)都大于5時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布。
π=0.5時(shí),不同n值對應(yīng)的二項(xiàng)分布
π=0.3時(shí), 不同n值對應(yīng)的二項(xiàng)分布
圖7.1二項(xiàng)分布示意
與兩點(diǎn)分布區(qū)別
兩點(diǎn)分布的分布列就是
X 0 1
P p 1-p
不論題目有什么區(qū)別,只有兩種可能,要么是這種結(jié)果要么是那種結(jié)果,通俗點(diǎn),要么成功要么失敗
而二項(xiàng)分布的可能結(jié)果是不確定的甚至是沒有盡頭的,
列一個(gè)項(xiàng)分布的分布列就是
X 0 1 2 ……… n
P C(0)(n).(1-p)^n C(1)(n).p.(1-p)^(n-1) …… C(n)(n).p^n.(1-p)^0
也就是說當(dāng)n=1時(shí),這個(gè)特殊二項(xiàng)分布就會(huì)變成兩點(diǎn)分布,
即兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布
像一樓說的二項(xiàng)分布是兩點(diǎn)分布的多重實(shí)驗(yàn)也不無道理,因?yàn)閮烧叨际仟?dú)立的重復(fù)實(shí)驗(yàn),只不過次數(shù)不同罷了
E(n) = np, var(n) = np(1-p) (n是實(shí)驗(yàn)次數(shù)，p是每次實(shí)驗(yàn)的概率）
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