極限法
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1 什么叫極限法?
所謂極限法，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)方法．極限法的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果．極限法不同于一般的代數(shù)方法，代數(shù)中的加、減、乘、除等運(yùn)算都是由兩個(gè)數(shù)來確定出另一個(gè)數(shù)，而在極限法中則是由無限個(gè)數(shù)來確定一個(gè)數(shù)．很多問題，用常量數(shù)學(xué)的方法無法解決，卻可用極限法解決．
例如，已知拋物線y2＝2x．（1）在拋物線上任取二點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），經(jīng)過線段P1P2的中點(diǎn)作直線平行于拋物線的軸，和拋物線交于點(diǎn)P3，證明△P1P2P3的面積為（1／16）.｜y1－y2｜3；（2）經(jīng)過線段P1P3、P2P3的中點(diǎn)分別作直線平行于拋物線的軸，與拋物線依次相交于Q1、Q2，試將△P1P3Q1與△P2P3Q2的面積之和用y1、y2表示出來；（3）依照（2）又可作出四個(gè)更小的三角形，如此繼續(xù)下去可以作一系列的三角形，由此設(shè)法求出線段P1P2與拋物線所圍成的圖形的面積．（1965年高考數(shù)學(xué)試題第7題）
在該題中，為了推導(dǎo)所求拋物弓形的面積，必須借助于極限法．
就像坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法一樣，極限法是微積分的基本方法，微積分中的一系列重要概念，如函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限法定義的．如果要問：“微積分是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說：“微積分是用極限法來研究函數(shù)的一門學(xué)科．”
2 極限法思想是從哪兒來的?
與一切科學(xué)方法一樣，極限法也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物．
極限法的思想可以追溯到古代．劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始極限觀念的應(yīng)用．古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對(duì)無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于簡接證法──歸謬法完成有關(guān)證明．
到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法證明步驟．如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用的概念的方向”．
極限法的進(jìn)一步發(fā)展與微積分的建立緊密聯(lián)系．16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到很大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會(huì)背景．
起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想．牛頓用路程的改變量ΔS與時(shí)間的改變量Δt之比ΔS／Δt表示運(yùn)動(dòng)物體的平均速度，讓?duì)無限趨近于零，得到物體的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論．他意識(shí)到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)．他說：“兩個(gè)量和量之比，如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時(shí)間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差別，則最終就成為相等．”但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上，因而他無法得出極限的嚴(yán)密表述．牛頓所運(yùn)用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當(dāng)n無限增大時(shí)，an無限地接近于常數(shù)A，那么就說an以A為極限．”
這種描述性語言，人們?nèi)菀捉邮埽F(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義．但是，這種定義沒有定量地給出兩個(gè)“無限過程”之間的聯(lián)系，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)．
正因?yàn)楫?dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時(shí)速度概念中，究竟Δt是否等于零?如果說是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含著它的那些項(xiàng)去掉呢?這就是數(shù)學(xué)史上所說的無窮小悖論．英國哲學(xué)家、大主教貝克萊對(duì)微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”．
貝克萊之激烈攻擊微積分，一方面是為宗教服務(wù)，另一方面也由于當(dāng)時(shí)的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂．這個(gè)事實(shí)表明，弄清極限概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身所需要而且有著認(rèn)識(shí)論上的重大意義．
3 極限法的完善
極限法的完善與微積分的嚴(yán)格化密切聯(lián)系．
在很長一段時(shí)間里，微積分理論基礎(chǔ)的問題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如愿以償．這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象已從常量擴(kuò)展到變量，而人們對(duì)變量數(shù)學(xué)特有的規(guī)律還不十分清楚；對(duì)變量數(shù)學(xué)和常量數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解；對(duì)有限和無限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系還不明確．這樣，人們使用習(xí)慣了的處理常量數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)思想方法，就不能適應(yīng)變量數(shù)學(xué)的新需要，僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”，相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系．
到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對(duì)極限作出過各自的定義．其中達(dá)朗貝爾的定義是：“一個(gè)量是另一個(gè)量的極限，假如第二個(gè)量比任意給定的值更為接近第一個(gè)量．”它接近于極限的正確定義，然而，這些人的定義都無法擺脫對(duì)幾何直觀的依賴．事情也只能如此，因?yàn)?9世紀(jì)以前的算術(shù)和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的．
首先用極限概念給出導(dǎo)數(shù)正確定義的人，是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，他把函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，定義為差商Δy／Δx的極限f′（x），他強(qiáng)調(diào)指出，f′（x）不是兩個(gè)零的商．波爾查諾的思想是有價(jià)值的，但關(guān)于極限的本質(zhì)他仍未說清楚．
到了19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在《分析教程》中指出：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值．”特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個(gè)變量成為無窮小．
柯西把無窮小視為以0為極限的變量，這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認(rèn)識(shí)，這就是說，在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無限地接近于零．
柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望．但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度．
為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯脫拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)．所謂an＝A，就是指：“如果對(duì)任何ε＞0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，不等式｜an－A｜＜ε恒成立．”
這個(gè)定義，借助不等式，通過ε和N之間的關(guān)系，定量地、具體地刻劃了兩個(gè)“無限過程”之間的聯(lián)系．因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍不顯得陳舊．在該定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不求助于運(yùn)動(dòng)的直觀．
眾所周知，常量數(shù)學(xué)靜態(tài)地研究數(shù)學(xué)對(duì)象，自從解析幾何和微積分問世以后，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，人們有可能對(duì)物理過程進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究，之后，維爾斯脫拉斯建立的ε-N語言，則用靜態(tài)的定義刻劃變量的變化趨勢．這種“靜態(tài)──動(dòng)態(tài)──靜態(tài)”的螺旋式的演變，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律．
綜上所述可見，極限法的引入與完善是出于社會(huì)實(shí)踐的需要，是幾代人奮斗的結(jié)果，不是哪一個(gè)數(shù)學(xué)家苦思冥想出來的．
4 極限法的思維功能
極限法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定蹬．極限法揭示了變量與常量、無限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用．借助極限法，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確．
無限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展．無限個(gè)數(shù)目的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助極限法，從有限認(rèn)識(shí)無限．
“變”與“不變”反映了事物運(yùn)動(dòng)變化與相對(duì)靜止兩種不同狀態(tài)，但它們?cè)谝欢l件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”．例如，要求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，用初等方法是無法解決的，困難在于這時(shí)速度是變量．為此，人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速，并求其平均速度，把瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限，就是借助極限法，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”．
曲線形與直線形有本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了．”善于利用這種對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一．直線形的面積容易求得，要求曲線形的面積，只用初等的方法就不行了．劉徽用圓內(nèi)接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的面積和逼近曲邊梯形的面積，都是借助極限法，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形．
量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證關(guān)系．量變能引起質(zhì)變，質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學(xué)研究工作中起重要作用．對(duì)任何一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形來說，當(dāng)它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變，不是質(zhì)變．但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就“變”成圓，多邊形面積變轉(zhuǎn)化為圓面積．這就是借助極限法從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變．
近似與準(zhǔn)確是對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，兩者在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算的重要訣竅．前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“圓內(nèi)接正多邊形面積”，依次是相應(yīng)的無窮級(jí)數(shù)和、瞬時(shí)速度、圓面積的近似值，取極限后就可得到相應(yīng)的準(zhǔn)確值．這都是借助極限法，從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確．
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